ボード線図を書こう!

この記事はロ技研アドベントカレンダー18日目です。

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どうも2年のinevitです。1年の部員も含めお前誰だよっていう声がたくさん聞こえてきた気がします。まあ活動にほとんどいっていない自分が原因なのですが多分1年の子に名前を聞いてもわかる子は20%行かない気がします(白目)。その上最近バイトで社畜戦士をしているので何も研究できてません。去年の給与が103万弱だったことだけが声を大にして言える自慢です。(しょぼい)アドベントカレンダー担当日である今日もバイトでロ技研の忘年会にもいけませんでした。なのでその恨みを込めて今回の記事を書いていこうと思います。

序論

さて、このまま延々と私のどうでもいい話を書き連ねてもいいのですがそろそろ本題に入ります。みなさん制御工学という分野はご存知ですか?。そうあの制御です。そういわれてみなさんがどんなものを想像したかは知りませんがロボットの中の有名どころでいうと倒立振子に色濃く使われていると思います。ロボットい限らず様々な分野で大小あれで様々な形で使われていると思います。我々が歩くのだって脳が制御しているわけです。そこで我々が改めて何か新しいシステムが作りたいなーと思ったときに作りたいシステムの入出力の伝達特性を調べるのに便利なものがタイトルにも書いてあるようなボード線図というものです。ここではそのボード線図について順を追って説明します。

伝達関数について

制御工学でかなり最初のほうから出てくる大事なキーワード、それが伝達関数です。伝達関数とは入力と出力の初期条件がすべて0の時の入力のラプラス変換と出力のラプラス変換の比のことを言います。ラプラス変換って何だという人はいると思いますが此処で説明するのは面倒なので自分で勉強してください(暴論)。この説明だけではピンとき辛いと思うので例題を見てみましょう。習うより慣れろです。

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今回入力をf(t)、出力をx(t)として考えます。この時x(t)は平衡位置からの変位であることに気を付けましょう。まず運動方程式を立てると

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となりますよね?。これをラプラス変換して式をまとめると

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のようになります。(ただし初期値はすべて0としている)よって伝達関数G(s)

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と求めることができます。またこのシステムは分母の多項式の次数が2のため2次遅れ系といいます。つまり分母の次数が1の時は1次遅れ系となります。今回その1次遅れ系の周波数特性のみを考えます。

周波数応答

さて我々が与えられたシステムの伝達特性を考える1つの方法として様々な周波数の正弦波を入力として用いて、そのシステムの出力の特性を見ることがあげられます。このような手法を周波数応答法と呼ばれます前節で伝達関数を学んだのでここではまず入力がA sin ωt、伝達関数が安定な1次遅れ系

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場合の周波数応答を考えてみます。するとその出力は以下の様になります。(ここではその結果しか示しませんがラプラス変換と使えば簡単に求まるはずです。)

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すると入力に対する出力の振幅比、位相の差は

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となりますね。この2つと周波数との関係をより直感的に理解するために用いられるのがボード線図です。

ボード線図

前述した振幅比の常用対数を取りそれを20倍したものをゲインといい単位をデシベル(dB)で表します.。これと位相の入力の角周波数wに対する関係を表したものの一つとしてボード線図があります。まあとりあえずなにかしらのボード線図を書いてみましょう。

キャプチャ2

上の図は一次遅れ系

キャプチャ3

のボード線図です。注意すべきところは横軸が0.01,0.1,1,10,100が等間隔の片対数グラフになっています。この10倍の間隔を1デカードと呼びます。この場合横軸は対数目盛りのため0の点を表すことができません。

さてこのようなボード線図は実験的に求めるかmatalabのようなツール使えば書けますが手書きで書くと面倒です。(そんな事あんまりないが)そのためこの曲線の近似させることを考えます。今回はゲイン曲線のみ考え位相曲線の近似は考えません。まず振幅比においてKを1としてTとwによる振幅比の変化を考えると

キャプチャ4

これよりwT<1の時はwT<<1と考えwT>1の時はwT>>1として近似してみます。この場合ゲインはwT<1では0,wT>1ではTを定数として考えればwが10倍されるごとに-20dBごとに減少すると考えることができます。これを参考にして先ほどの一時遅れ系の近似曲線を考えると

キャプチャ

赤い線のような感じになります。こんな風に見るとなんかよさそうに思えますね。赤い曲線の丁度傾きが変わっている部分の周波数を折れ点周波数とよびます。今回はT=1のためw=1/T=1Hzが折れ点周波数になります。

さてこのボード線図では高次の伝達関数の場合低次の伝達関数に分解してそれを合成することで元の伝達関数を表すことができます。これを最後に例として説明していきます。まず対数の性質として

キャプチャ6

があるため低次の関数で表せる関数のゲイン曲線は低次の関数それぞれのゲイン曲線の和として表現できます。このため次の関数は

キャプチャ5

とできるため

キャプチャ7

の2つの関数のゲイン曲線の和として捉えることができます。この時折れ点周波数が0.1Hzと5Hzになることに注意してゲイン曲線と折れ点近似を描くと

キャプチャ8

となります。このように一次遅れ系の伝達関数に分解できる伝達関数は折れ点周波数を求めれば簡単に直線近似できます。まあmatlab使えれば一発なんですけどね。

以上になります。まあないとは思いますが次にこのような機会があればmatlabについてでも書こうと思いますね。

ではノシ。

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